Merci de votre question, qui n'est pas évidente du tout ...et demande d'être débattue.
Oui, Paul martèle l'universalité d'un salut offert à tous, "il n'y a, dit-il, ni Juif ni Grec, ni esclave ni homme libre, ni l'homme et la femme, tous vous êtes un en Jésus Christ" (Galate 3, 28); et cette offre est sans condition préalable, et elle demeure au cours des siècles. Par ailleurs, Paul a tendance à garder le terme d'"élection" (peuple choisi, peuple élu) pour Israël, qui garde la priorité de l'appel et de l'amour de Dieu, quoi qu'il arrive (Rm 9,11 ; 11, 28). 
Pour autant, il lui arrive de considérer que les disciples du Christ, qu'ils viennent du judaïsme ou du paganisme sont des "élus" de DIeu, et dans la première lettre aux Thessaloniciens, il écrit : "nous savons, frères aimés de Dieu, que vous êtes élus" (littéralement : "nous connaissons votre élection"), même si cela reste très rare.
Enfin le verbe apparaît très nettement dans 1 Corinthiens 1, 27-28  : "Dieu a choisi ce qui est faible, ce qui est méprisé, ce qui est sans valeur... ", à savoir les Corinthiens qui se querellent... et nous tous les chrétiens ! J'y reviendrai.
Après Paul, la  tendance sera de plus en plus  de considérer que les chrétiens aussi sont des "élus" de Dieu, et les textes que vous avez entendus sont des textes de disciples de Paul des générations suivantes ; ils n'emploient pas le terme "élection", mais parlent des croyants comme des "élus", ainsi 2 Tm  2, 10 et surtout Tite 1, 10 : "Paul apôtre de Jésus Christ, pour amener les élus de Dieu à la foi et à la connaissance de la vérité". Je fais remarquer que cela n'exclut personne, tous sont "élus" de Dieu et peuvent (doivent) venir à la foi  !
Un pas de trop est probablement passé dans la première lettre de Pierre, où le grand texte sur l'élection d'Israël en Exode 19,  5-6 ("peuple élu, communauté sacerdotale, résidence royale...") est appliqué aux chrétiens. Ce que Paul n'aurait pas, je crois, accepté.

Ceci dit, je reviens sur cette idée d'"élection" qui vous et nous scandalise ; il n'est pas question de la reprendre à Israël. Mais à mesure que nous essayons de venir à la foi, à mesure que nous souhaitons nous dire chrétiens, ne devons-nous pas constater à quel point ce désir même, et plus encore notre adhésion (baptême ou profession de foi) et notre tentative pour rester fidèle au cours du temps, tout cela n'est-il pas un don de Dieu, une bénédiction dont nous devons sans cesse rendre grâce ?  
C'est ce que Paul désigne en termes de "choix" :  Votre appel, le voici : Dieu vous a choisis... Cela ne veut pas dire que les autres n'ont pas été choisis, mais que celui qui répond (ou essaie de répondre) à cet appel ne peut pas s'en glorifier ou s'en attribuer le mérite, il ne peut que reconnaître le don de Dieu. Tout de même, quel "privilège"que de se savoir aimé sans condition !

Alors, évidemment la question : pourquoi nous et pas les autres, ceux que nous appelons "les incroyants" ?
D'abord, qu'en savons-nous ? Est-ce à nous de juger (et de cataloguer) ce qui se passe entre Dieu et chacun de nos frères (et soeurs) humains ? L'Esprit souffle où il veut, les voies de Dieu sont insondables, et nos catégories toujours imbécilles...
Rendons grâce pour le don de croire qui nous est fait, tentons d'y répondre, et surtout n'en faisons pas vantardise, dirait Paul. 
J'ajoute enfin que ce don, ou ce choix, comme vous voulez, nous engage à une lourde responsabilité : celle de témoigner d'un amour qui ne fait pas de différence entre les humains, et qui est vraiment pour tous !

Je ne sais si cela vous aide à comprendre les tensions, sinon parfois les contradictions entre les textes du Nouveau Testament, et parfois Paul lui-même !
 

Oui, qui dit contradiction dit inexplicable. Mais peut-être aussi des aspects partiels et balbutiants d'une vérité qui nous dépasse tellement et qui nous tire vers elle, malgré notre incapacité à tout comprendre  !