Pour ma part, je trouve votre question très intéressante, et d'autres nous rejoindront peut-être !
Je vais réagir en deux temps :
1- D'abord, confirmer l'absence de "citations" de paroles de Jésus par Paul. C'est très clair, Paul ne cite pas ce que nous savons par ailleurs par les "évangiles" (mais nous ne savons que ce que les communautés et les évangélistes ont retenu et considéré comme nécessaires et indispensables de nous transmettre : voyez Jean 20, 36 : "Jésus a fait bien d'autres signes...").
Il faut tout de même nuancer, car Paul semble bien connaître certaines "traditions évangéliques", des traditions orales, semble-t-il. On en trouve des échos très forts dans certaines lettres : ainsi Romains 12, 11-17 évoque le discours après les Béatitudes (Lc 6, 31-36) ; des échos aussi au Notre Père tout au long de 1 Thessaloniciens.
De façon plus précise, Paul invoque deux ou trois fois un enseignement du Seigneur…. Mais c’est pour dire que lui, Paul, fait juste le contraire !
ainsi en 1 Co 9, 14 1, Paul rappelle que « le Seigneur a ordonné à ceux qui annoncent l’Evangile de vivre de l’Evangile » (se faire entretenir sur place), et il ajoute : « mais moi je n’en use absolument pas » !
Et encore en 1 Co 13, 13 : « et si j’ai la foi au point de déplacer les montagnes, si je n’ai pas l’amour, je ne suis rien » ; rappel et retournement de la péricope de Mc 11, 23 ou Mt 21, 21…
Une grande et belle liberté par rapport aux traditions évangéliques !
Par ailleurs, Paul rapporte au contraire presque à la lettre les deux récits qu’il a « reçus du Seigneur » (en fait des communautés chrétiennes, et probablement à Antioche) : le récit du dernier repas (1 Co 11, 23-26) et le Kérgyme de 1 Co15, 1-11. Ce qui fonde et structure la vie des Eglises chrétiennes.
Tout cela s’explique assez aisément :

-par le fait que, lorsque Paul écrit, il n’y avait pas encore d’évangile écrit (Marc le premier vers 70), mais des traditions orales déjà mises en forme, avec des différences notables selon les lieux.
-par le fait que Paul n’a pas connu Jésus : il s’est renseigné auprès de Pierre ( Ga 1, 18) et des communautés persécutées, puis à Antioche.
-par le fait qu’on lui a reproché de n’avoir pas été un « témoin oculaire » et qu’on a mis en cause pour cela l’authenticité de son apostolat ; il répond alors que l’important n’est pas de connaître Jésus « selon la chair », mais « selon l’Esprit » (voir 2 Co 5, 16-17).
Dès lors, il fait porter tout l’accent sur ce qui, pour lui, est central : l’événement de la Croix, dans laquelle il découvre que Dieu n’est pas du côté des purs et des pratiquants rigoureux, mais du côté des exclus et de toutes les misères, voire les péchés, des humains. Qu’en ce Crucifié-Ressuscité, Dieu est venu réajuster à sa bénédiction toute l’humanité.

2- Paul centre toute sa théologie sur la Parole de la Croix : pouvons-nous nous en contenter ? Vous soulignez qu’il en va de même dans des textes beaucoup plus tardifs : les Actes,  1 Pierre, Hébreux, les lettres de Jean.
La foi chrétienne pourrait-elle se passer des évangiles ? 
Non. Car on voit bien les risques à s’en tenir à la Parole de la Croix : faire de Jésus un Sauveur certes crucifié, mais surtout glorieux, et le détacher de son ancrage historique, de l’histoire de la promesse de Dieu, des alliances et des attentes d’Israël, le détacher surtout de la réalité de son « incarnation ».
Or Paul tient avant tout à cette incarnation (« Dieu a envoyé son Fils, né d’une femme, né sous la Loi » (Ga 4, 4). Et lorsqu’il exhorte les chrétiens à se comporter selon la création nouvelle, il leur dit « imitez-moi, comme j’imite le Christ ». Mais que signifie « imiter le Christ » si on n’a aucune idée de la façon dont il a vécu ?
A l’époque de Paul, il existait de nombreux témoins oculaires, capables de dire et de raconter des faits et gestes, des paroles et des paraboles de Jésus. Il n’était pas nécessaire d’en écrire davantage, pour que les gens s’y réfèrent. Mais avec la disparition des témoins oculaires (Jacques fils de Zébédée vers 42/43 ; Jacques de Jérusalem en 62 ; Pierre vers 64/65 etc. et Paul lui-même), la mémoire qui passait par les récits a dû s’appuyer désormais sur des traces écrites, et on peut comprendre la nécessité de plus en plus forte de mettre par écrit des séries de paraboles, d’enseignements, d’actes de puissance, et surtout et avant tout, les récits de la passion et les témoignages de rencontres avec le Ressuscité. Finalement d’écrire des « évangiles ».
Nous avons essentiellement besoin des évangiles qui nous renvoient à un « style de vie » de Jésus, celui-là même que dans un milieu et des circonstances extrêmement différents Paul « imitait » !
Et il me semble que Paul nous y renvoie sans cesse, comme un contre-poids à sa vision qui risque d’être trop spéculative de la foi chrétienne !