Je vous remercie de cette remarquable attention au texte grec. Vous distinguez ainsi trois mots pour dire le « service », douleuô,  diakoneô, leitourgéô.
Vous notez qu’en Philippiens 2, 22, Paul écrit de Timothée « comme un enfant pour son père, il a servi avec moi pour l’annonce de l’Evangile », avec le verbe douleuô, qui dit le service de l’esclave.
La lettre ne cesse de souligner la proximité de Timothée avec Paul, et la salutation de 1, 1 est la suivante : « Paul et Timothée, esclaves du Christ Jésus ». On trouve aussi ce « titre » en Romains 1, 1 ; Ga 1, 10  (repris en Tite 1, 1) par lequel Paul se présente comme « esclave du Christ », et je crois qu’il inclut Timothée dans cet honneur d’être au service de Jésus Christ comme un esclave, l’annonce de l’Evangile étant la forme la plus marquante de ce service.
Il faut je crois, dans la lettre aux Philippiens, mettre cette figure de l’apôtre esclave en lien avec celle du Christ, qui a pris « la forme d’esclave » (2, 7).
Il semble bien que Paul ait considéré Timothée un peu comme un fils (il le dit « mon enfant »)/

Les mot diakoneô, diakonos, désignent de façon plus large un service qui est soit celui de la table, soit celui de la parole (la transmission exprimée par -dia). Paul se dit parfois diakonos, c’est même en 1 Corinthiens 3, 5 la façon dont il se définit avec Apollôs. Timothée, aussi bien, est appelé diakonos  dans une des traditions textuelles de 1 Thessaloniciens 3, 2.:

Le verbe leitourgeô et le mot leitourgos sont plus originaux : il s’agit d’abord d’un service mandaté, service de la cour royale dans le grec hellénistique, puis service religieux. Ici Epaphrodite est serviteur des besoins de Paul ; donc un service bien humain, le chapitre 4, 18 nous apprend qu’Epaphrodite a apporté à Paul les subsides que lui envoyaient les Philippiens.
Je souligne l’intérêt de ces mots, qui sont devenus caractéristiques du culte chrétien : Paul ne les emploie jamais dans ce sens (qu’ils n’ont pas à son époque), mais il les emploie pour tout ce qui est la vie et la mission chrétienne au service (notamment matériel) de l’Evangile. Ainsi emploie-t-il le vocabulaire cultuel ou qui le deviendra pour parler de sa mission à Philippes : « même si je suis versé en libation sur le sacrifice et le service de votre foi » (Phl 2, 17). Dit autrement, pour Paul, le culte c’est la vie de foi chrétienne et l’annonce de l’Evangile.

De façon impressionnante, la reprise de ces mots dans la lettre montre qu'il s'agit toujours de la suite et de l'imitation du Christ, et de l'annonce de l'Evangile qui y conduit !